Спіраль Архімеда – історія і сучасність

Abstract

У статті розглянуто питання з історії розвитку плоских кривих ліній, спіралеподібних форм, що дуже поширені в природі. Спіралі як математичні об'єкти досліджували видатні математики минулого, такі як, Архімед, Бернуллі, Ферма та інші. Форма спіралі поєднує в собі симетрію і золотий перетин, викликає відчуття гармонії і краси. Великий і цікавий клас складають плоскі та просторові криві лінії, до яких належать узагальнені спіралі Архімеда, ланцюгова лінія, літуус, циклоїда, та інші. Основна властивість спіралі Архімеда полягає в наступному: яку б точку цієї спіралі ми не взяли, відношення її радіус-вектора до полярного кута, який відраховується від будь-якого фіксованого напрямку, буде одним і тим же. Зустрічаються спіралі і в різних галузях діяльності людини: в механіці, техніці, харчовій промисловості. В статті проаналізовано утворення спіралі Архімеда і спосіб побудови її без формули, а саме поділом кола великою кількістю радіальних ліній з рівними кутами між ними, а також великою кількістю концентричних кіл. Систематизовано знання про властивості і графіки узагальнених спіралей Архімеда. За допомогою диференціального та інтегрального числення знайдено довжину першого витка спіралі Архімеда і площу, обмежену спіраллю Архімеда r = aφ і двома радіус-векторами, які відповідають полярними кутам і .

In this article are taken questions about the history of development flat curved lines, spiral shapes, which have wide distribution in the nature. Spirals as mathematical objects were studied by outstanding mathematicians of the past, such as Archimedes, Bernoulli, Fermat and others. Spiral form includes symmetry and golden ratio, produces the feelings of harmony and beauty. Flat and spatial curve lines, which include generalized Archimedes' spirals, chain lines, lituums, cycloids, and others account for a great and interesting class. The main property of the Archimedes' spirals is as follows: whatever the point of this spiral, the ratio of its radius vector to the polar angle, which is deducted from any fixed direction, will be one and the same. There are spirals on different types of human activity: in mechanics, engineering and food industry. The formation of the Archimedes' spiral and the way of constructing it without a formula, namely by dividing the circle by a large number of radial lines with the same angles between them, as well as by a large number of concentric circles are analyzed in this article. Knowledge about the properties and graphs of generalized Archimedes' spirals systematized. Using the differential and integral calculus, we find the length of the first coil of the Archimedes' spiral and the area bounded by the Archimedes spiral r = aφ and two radius vectors corresponding to the polar angles and .