Застосування лінійних матричних нерівностей при синтезі модального керування багатомірними лінійними системами

Abstract

У статті наведено розв’язок задачі побудови модальних регуляторів для лінійних багатовимірних систем, що забезпечують D-стійкість (асимптотичну стійкість) об’єкта керування. Керування представлено у вигляді регуляторів, що забезпечують зворотний зв’язок за виходом об’єкта керування, і здійснюється з використанням спостерігачів Луенбергера повного і зниженого порядку. Для обчислення матриць регуляторів застосовано техніку лінійних матричних нерівностей і узагальнення поняття стійкості за Ляпуновим (D-стійкість). Наведено теореми, що дають необхідні і достатні умови D-стійкості керованої системи. Запропоновано конструктивний розв’язок задачі синтезу D-стабілізувальних (модальних) регуляторів за вимірюваним виходом об’єкта керування, заснований на побудові спостерігачів стану об ’єкта певного порядку. Розв ’язок отримано на основі використання теорії лінійних матричних нерівностей (LMI). Для чисельного моделювання отриманих модальних регуляторів можна використовувати ефективні методи опуклої оптимізації і відповідне програмне забезпечення, яке входить до ряду пакетів прикладних програм, зокрема, в систему MatLab. Описано методи розв ’язання не тільки прямої задачі модального керування, коли вибір параметрів регулятора забезпечує збіг коренів характеристичного рівняння замкненої системи з попередньо заданим набором комплексних чисел, розташованих у лівій частині комплексної площини, але й інших задач модального регулювання, в яких вимога точного розміщення коренів у лівій комплексній півплощині вже не накладається, а потрібна лише їх приналежність до заданих областей. Такі області, описані системою лінійних матричних нерівностей, називаються LMI-областями. The paper gives a solution to the problem of constructing modal regulators for linear multidimensional systems that provide D-stability (asymptotic stability) of the control object. The control is represented as regulators providing feedback on the output of the control object, and it uses the full and low order observers of Luenberger. To calculate the matrices of the regulators, we use the technique of linear matrix inequalities and generalization of the Lyapunov stability concept (D-stability). The theorems which give necessary and sufficient conditions for D-stability of the controlled system are given. The constructive solution of the problem of synthesis of D-stabilizing (modal) regulators according to the measured output of the control object, based on the construction of observers of the state of the object of the complete and reduced order, is given. The solution is obtained based on the use of the theory of linear matrix inequalities (LMI). For numerical simulation of the obtained modal regulators you can use effective methods of convex optimization and corresponding software that is included in a number of application packages, in particular, in the MatLab system. In this paper we describe methods for solving not only the direct problem of modal control, when the choice of parameters of a regulator is ensured by the coincidence of the roots of the characteristic equation of a closed system with a predefined set of complex numbers located on the left side of the complex plane, but also other problems of modal control, in which the requirement of the exact placement of the roots in the left integrated half-plane is not superimposed, but only their membership in certain specified areas is required. Such areas, described by a system of linear matrix inequalities (LMI), are called LMI domains.