Математичне моделювання деформації границі в’язкого тіла методом гідродинамічних потенціалів

Abstract

У теорії потенціалу будуються інтегральні представлення розв’язку через довільні функції точок контуру області шляхом підстановки цих функцій у формули Гріна замість контурних значень рішень та їх частинних похідних. Умови на границі області призводять до так званих граничних інтегральних рівнянь. У задачах руху в’язкої рідини виокремлюється практично важливий клас задач наперед невідомою (вільною границею), яка визначається в процесі самого розв’язання. Одним із можливих підходів до розв’язання даного класу задач гідродинаміки є метод гідродинамічних потенціалів, який переключає основні складності досліджень і числових розрахунків на деякі граничні інтегральні рівняння, які відносяться лише до границі області і враховують граничні умови безпосередньо. Дане перетворення надає можливість відразу визначити невідомі величини на границі, не обчислюючи їх у всій області. Це вигідно відрізняє метод граничних інтегральних рівнянь від інших методів (метод встановлення, кінцево-різницеві методи, тощо). У статті поставлена і розв’язана задача деформації в'язкого тіла під дією сил поверхневого натягу. Будуються граничні інтегральні рівняння, які розглядаються в сукупності з кінематичною контурною умовою. Запропоновано метод кроків за часом для чисельного аналізу деформації рідкого в'язкого тіла під дією сил поверхневого натягу.

In the theory of potential, integral representations of a solution in terms of arbitrary functions of points of the contour of a domain are constructed by substituting these functions into Green's formulas instead of the contour values of the solutions and their partial derivatives. The conditions on the boundary of the region lead to the so-called boundary integral equations. The viscous fluid theory stands practically important class of problems with pre-unknown (free boundary), which is determined in the process of resolving. One approach to solving this class of hydrodynamics problems is the method of hydrodynamic potentials, switch the main challenges of research and numerical calculations of some boundary integral equations, which relate only to the border area and take into account the boundary conditions directly. This conversion allows you to immediately identify unknown quantities at the border, without calculating them throughout the region. This distinguishes the method of boundary integral equations of the other methods. The article posed and solved the problem of viscous deformation of the body under the action of surface tension forces. We construct boundary integral equations, which are considered in conjunction with the kinematic boundary conditions. The method of time steps for the numerical analysis of liquid viscous deformation of the body under the action of surface tension forces.