Minimax and H∞-optimal control of linear non-stationary systems

Abstract

The article solves the problem of synthesis of minimax control for dynamic, described by the system of differential equations (taking into account the state, controls, perturbations and initial conditions, with the given equation of observation inclusive), objects operating with integral-quadratic quality criterion under uncertainty . It was assumed that external perturbations, errors and initial conditions belong to a certain set of uncertainties. The problem of finding the optimal control in the form of the inverse of the object of communication, which minimizes the criterion of functioning, is presented in the form of a minimum problem of optimal control under uncertainty. In the absence of ready-made solutions, the reduction of this problem to the problem of H∞-control at the most unfavorable perturbations and, in addition, to a dynamic game problem with zero sum and a certain price of the game is shown, the strategy of its solution is offered. results. The problem of finding the optimal control and the initial state that maximizes the quality criterion is considered in the framework of the optimization problem, which was solved by the method of Lagrange multipliers after the introduction of the auxiliary scalar function - Hamiltonian. It is shown that to find the maximum value of the criterion, either an extremum condition of the first kind depending on the ratio of the first variation of the criterion and the first variations of control vectors and the initial state can be used, or a necessary extremum condition of the second kind depending on the sign of the second variation. For the first and second variations, there are formulas that can be used for calculations. It is proposed to solve the problem of control search in two stages: search of intermediate solution at fixed values ​​of control and error vectors and subsequent search of final optimal control. The solution of H∞-optimal control over infinite time taking into account the signal from the compensator output, as well as the solution of the corresponding matrix algebraic equations of the Ricatti type are also considered. У статті розв’язано задачу синтезу мінімаксного керування для динамічних, описаних системою диференційних рівнянь (з урахуванням стану, керувань, збурень і початкових умов, з наведеним рівнянням спостереження включно), об’єктів, що функціонують з інтегрально-квадратичним критерієм якості в умовах невизначеності. Припускалося, що зовнішні збурення, похибки та початкові умови належать певній множині невизначеностей. Задача пошуку оптимального керування у вигляді зворотного по виходу об’єкта зв’язку, який мінімізує критерій функціонування, представлена у вигляді мінімаксної задачі оптимального керування за умов невизначеностей. За відсутності готових шляхів розв’язання показане зведення цієї задачі до задачі H∞-керування при найбільш несприятливих збуреннях і, крім того, до динамічної ігрової задачі з нульовою сумою та визначеною ціною гри, наведена стратегія її розв’язання, що пропонує шлях до нових результатів. Завдання пошуку оптимального керування і початкового стану, що максимізують критерій якості, розглянуто в рамках оптимізаційної задачі, яку розв’язано методом множників Лагранжа після введення допоміжної скалярної функції — гамільтоніана. Показано, що для знаходження максимального значення критерію може бути використана або необхідна умова екстремуму першого роду, що залежить від співвідношення першої варіації критерію та перших варіацій векторів керування і початкового стану, або необхідна умова екстремуму другого роду, що залежить від знака другої варіації. Для перших і других варіацій наведено формули, які можуть використовуватися для розрахунків. Запропоновано задачу пошуку керування розв’язувати в два етапи: пошук проміжного розв’язку при фіксованих значеннях векторів керування та похибки і наступний пошук остаточного оптимального керування. Розглянуто також розв’язання H∞-оптимального керування на нескінченному часі з урахуванням сигналу з виходу компенсатора, а також розв’язання відповідних матричних алгебраїчних рівнянь типу Рікатті.