Рівняння теплопровідності із степеневою нелінійністю і його точні розв’язки

Abstract

Розглядається нелінійне диференціальне рівняння вигляду, де , -деяка фіксована функція від залежної змінної. Якщо -достатьньо гладка функція, яка задовільняє співвідношенням , то дане рівняння є рівнянням Колмогорова-Петровського-Піскунова. Багато робіт було присвячено вивченню симетрійних властивостей, проведенню групової класифікації, а також пошуку точних розв’язків цих рівняннь. У випадку , використовуючи метод умовної симетрії і підстановку побудовані нові точні розв’язки нелінійного рівняння теплопровідності і вказаний спосіб побудови нескінченної множини точних розв’язків які виражаються через еліптичні функції Якобі. Одержані розв’язки можуть бути використані у прикладних дослідженнях і стати ефективним інструментом перевірки адекватності математичних моделей.

The nonlinear differential equation of an aspect is considered , where , - some fixed function from an effect variable. If smooth enough functions, which satisfies to relations , the given equation is by the equation Kolmogorova-Petrovskogo -Piskunova.Many operations were devoted to study of symmetric properties, realization of group classification, and also searching of exact solutions of these equations. In a case , using a method conditional symmetry and substitution the new exact solutions of a nonlinear heat conduction equation are constructed and the mode of construction of an infinite set of exact solutions is indicated which express through elliptic functions of Jacobi. The obtained solutions can be used in applied researches and to become the effective tool of check of adequacy of mathematical models.