Визначення D-області стійкості дробових лінійних динамічних систем

Abstract

У статті наведено розв’язок задачі виділення області стійкої стабілізації лінійних динамічних систем з PI^λ D^μ -регулятором дробового порядку. Завдяки використанню методу D-розбиття отримано аналітичні формули, що визначають межі області стійкості системи «об’єкт» + «дробовий PI^λ D^μ -регулятор» стосовно автоматичного керування процесом біологічного очищення забруднених вод активним мулом. Границя між областями, де система стійка або нестійка, в просторі параметрів налаштувань kp, kt, kd дробового PI^λ D^μ -регулятора складається з трьох частин: Г = Г0 +Гω +Г∞. Складова Г0 визначається з умови перетину дійсним коренем характеристичного рівняння уявної осі s -площини при s = 0 . Складова Гω визначається з умови перетину парою комплексно сполучених коренів уявної осі при s = jω, де j =√-1 — уявна одиниця. Складова Г∞ визначається перетином дійсними коренями квазіполінома (10) уявної осі при s = ∞ і може бути визначена з умови pn = 0. На основі методу D-split отримано аналітичні вирази, що описують межі глобальної області стійкості лінійних динамічних систем дробового порядку типу «вхід-вихід» з дробовими PI^λ D^μ -регуляторами. Розроблено відповідне алгоритмічне програмне забезпечення, яке не наведено в цій статті. Оцінено ефективність результатів виділення стійкості в умовах застосування дробового PI^λ D^μ -регулятора. Подальші дослідження можуть бути пов’язані з пошуком як оптимальних параметрів коригування, так і дробових налаштувань диферінтеграторів, включених у регулятор, відповідно до вибраного критерію оптимальності. In the article the solution of the problem of the selection of the region of stability of linear dynamical systems with PI^λ D^μ --regulator of fractional order is given. Using the D- split method, we obtain analytical formulas that determine the limits of the region of stable stabilization of the “object + fractional-regulator” system. The obtained results relate to the control system for biological purification of contaminated water by active sludge. The boundary between areas where the system is stable or unstable, in the configuration settings space kp , ki, kd of the fractional controller PI^λ D^μ --consists of three parts: Г = Г0 +Гω +Г∞. The constituent Г0 is determined from the condition of intersection of the real root of the characteristic equation of the imaginary axis s -plane with s = 0. The constituent Гω is determined by the condition of intersection of a pair of complexly connected roots of the imaginary axis at s = jrn , where j =√-1 is the imaginary unit. The constituent Г∞ is determined by intersection of the real roots of the quasi-polynomial of the imaginary axis with s = ∞ and can be determined from the condition pn = 0. On the basis of the D-split method, we obtain analytical expressions that describe the boundaries of the global region of the stability of linear dynamic systems of the fractional order of the “input-output” type with the fractional PI^λ D^μ - regulators. An appropriate algorithmic software was developed, which is not given in this article. Further research may be related to the search for both optimal adjustment parameters and fractional orders of the diperegenerators included in the regulator, according to some chosen optimality criterion.